به طور قطع مقررات مسئله را رعایت می‌کنند اما ممکن است ابزار تصمیم‌گیری بد اعمال شود و تصمیم گیر مجبور است در ادامه مقررات جدیدی به مسئله اضافه کند.
۳-۳ تصمیم‌گیری با چند معیار۷۷
اولین گام در مواجهه با مسائل تصمیم‌گیری چند معیاری یافتن تعداد صفت‌ها یا معیارها ایست که در مسئله موجودند. در مرحله بعد، ما نیازمندیم که اطلاعات مناسبی را جمع‌آوری کنیم که به وسیله آن ترجیحات تصمیم گیرها به درستی نشان داده می‌شود. انتخاب روش مناسب برای ارزیابی و مرتب کردن جایگزین‌ها آخرین مرحله از این فرآیند است. در زیر نمودار MCDM برگرفته از کتاب تی زنگ و هانگ۷۸ (۲۰۱۱)را می‌بینیم.
شکل ۳-۱: مراحل MCDM
۳-۳-۱ تاریخچه توسعه تصمیم‌گیری چند معیاری
ریشه‌های تاریخی این نوع مسائل را باید در مکاتبات میان نیکلاس برنولی۷۹ و پییر دی مونتمورت۸۰ در مورد پارادوکس سنت پترزبورگ۸۱ رد یابی کرد. بازی سنت پترزبورگ مسئله‌ی زیر را معرفی می‌کند:
“بازی به وسیله‌ی یک سکه انجام می‌شود. به شما گفته می‌شود که یک سکه را آن قدر پرتاب کنید تا شیر بیاید. تعداد پرتاب کلی شما نشان‌دهنده میزان جایزه شما خواهد بود. (دو برابر میزان پرتاب، پول دریافت می‌کنید) سال اصلی این است: شما چه میزان پول حاضرید برای انجام این بازی بپردازید؟”
در سال ۱۹۴۷ ون نویمن۸۲ و مورگنسترن۸۳ کتاب معروف خود، نظریه بازی‌ها و رفتار اقتصادی، را منتشر کردند. هیچ شکی نیست که کار بزرگ این دو نفر درهای MADM را گشود.
با توجه به مطالعات انجام‌شده در مورد این مسئله، دوبیز و پراد۸۴ (۱۹۸۰) فرایند تصمیم‌گیری در این مورد را در پنج مرحله زیر خلاصه کردند.
تعریف کردن طبیعت مسئله
ساختن یک سیستم سلسله مراتبی برای ارزیابی آن
انتخاب مدل ارزیابی مناسب
به دست آوردن وزن‌های نسبی و نمره‌ی عملکرد هر یک از معیارها با توجه به جایگزین‌ها
معرفی کردن بهترین جایگزین
در مواجهه با مسائل MADM، فرایند تحلیلی سلسله مراتبی برای به دست آوردن وزن‌های نسبی معیارها ارائه شد.
۳-۴ فرایند تحلیلی سلسله مراتبی۸۵
AHP به وسیله‌ی ساتی۸۶ در سال ۱۹۷۷ تا ۱۹۸۰ برای مدل کردن مسائل تصمیم‌گیری ارائه شد. از آن زمان تا به حال این تکنیک به طور وسیعی در اکثر مسائل تصمیم‌گیری کاربرد دارد. باید توجه کرد که در این فرایند تمام مسائل تصمیم‌گیری به صورت ساختار سلسله مراتبی در نظر گرفته می‌شوند. در سطح اول هدف از مسئله تصمیم‌گیری معرفی می‌شود. در سطح دوم هدف به چند معیار تجزیه می‌شود و در مراحل بعدی هم هر معیار به چند معیار کوچک‌تر تقسیم می‌شود. در شکل زیر می‌توان به خوبی شاهد این مسئله بود.
شکل ۳-۲: مراحل AHP
چهار مرحله اصلی AHP را می‌توان به صورت زیر خلاصه کرد.
ساختن یک سیستم سلسله مراتبی با تجزیه کردن مسئله به اجزای به هم مرتبط
ساختن ماتریس متقابل
تخمین زدن وزن نسبی معیارها
یافتن بهترین جایگزین به وسیله‌ی وزن‌های نسبی
فرض کنید که a_n ?تا a?_1 نشان‌دهنده‌ی معیار چشم توفانی است که باید باهم مقایسه شوند و w_n ?تا w?_1 هم بیانگر وزن‌های نسبی این معیارها باشد. در آن صورت قسمت اصلی مسئله شامل یافتن بردار اولویت یا همان بردار وزن‌های نسبی می‌شود که به صورت زیر نشان داده می‌شود.
۱)
W’= (w_1 , w_2 , …, w_n )
از زمانی که ساتی روش AHP را معرفی کرد تا به حال روش‌های زیادی برای یافتن بردار وزن نسبی، توسط افراد مختلف ارائه شده است. برخی از این روش‌ها فقط در شرایطی که ماتریس مقایسه‌ی دو به دویی۸۷ از اعداد قطعی۸۸ تشکیل شده باشد کارایی دارند ولی بسیاری از روش‌ها برای حل ماتریس مقایسه‌ی فازی ارائه‌شده‌اند.
ماتریس مقایسه‌ای را که هر عضو آن با اعداد فازی نشان داده می‌شود را ماتریس فازی مقایسه‌ای گویند. البته در اینجا منظور ما از اعداد فازی اعداد مثلثی۸۹ هستند که توسط عسکر زاده تعریف‌شده‌اند.
مقایسه‌ی دو به دویی معیارها در AHP با این فرض انجام می‌گیرد که تصمیم گیر می‌تواند هر دو المان تصمیم‌گیری را در هر سطحی از سلسله‌مراتب مسئله‌ی اصلی، باهم مقایسه کند و یک عدد را به میزان اهمیت دو معیار نسبت به هم اختصاص دهد. اگر المان اول بر المان دوم برتری داشته باشد آنگاه عدد اختصاص داده‌شده بزرگ‌تر از یک خواهد بود در غیر این صورت کوچک‌تر از یک می‌شود.
بردار اولویت۹۰ (وزن نسبی) می‌تواند از حل این ماتریس مقایسه‌ای در هر سطح به دست آید. روش‌های حل متفاوتی برای رسیدن به این بردار وجود دارند مانند روش بردار ویژه۹۱، روش حداقل توان لگاریتمی، روش حداقل توان وزنی، روش برنامه‌ریزی هدف و روش برنامه‌ریزی فازی.
روش بردار ویژه روشی است که خود ساتی هنگام ارائه‌ی AHP از آن استفاده کرده است. در این روش ابتدا ما ماتریس مقایسه‌ای را می‌سازیم.
۲)
در ماتریس فوق شرایط زیر برقرار است.
۳)
۴)
a_ij = 1/a_ji
a_ij = a_ik/a_gk
باید دقت شود که در شرایط واقعی نسبت وزن‌ها نامشخص است. و شرایط فوق فقط در یک حالت خاص رخ می‌دهد که بعد به آن اشاره می‌کنیم. پس در واقع مسئله AHP به دنبال یافتن a_ij هایی است که در شرط زیر صدق کنند.
۵)
a_ij ? w_i/w_j
ماتریس وزن‌ها را به صورت زیر در نظر بگیرید.
۶)
مطابق این روش ما ماتریس وزن‌ها را در بردار وزن ضرب می‌کنیم.
۷)
که این عبارت معادل عبارت زیر است.
۸)
از آنجا که حل مسئله بالا همان یافتن بردار ویژه است ما می‌توانیم بردار وزن‌های نسبی را با پیدا کردن بردار ویژه‌ی معادل با بزرگ‌ترین مقدار ویژه‌ی مسئله بالا، به دست بیاوریم.
برای نشان دادن میزان دقت و ثبات جواب‌ها، ساتی ضرایبی را ارائه کرده است که می‌توان از آن‌ها استفاده کرد.
۹) ضریب ثبات جواب مسئله
و
۱۰) ضریب دقت
مقدار ضریب ثبات باید کمتر از ۱. باشد. در ادامه به بررسی آخرین روشی که برای حل مسائل AHP ارائه شده است می‌پردازیم.
۳-۵ برنامه‌ریزی لگاریتمی فازی۹۲
روش FPP یکی از بهترین روش‌هایی است که تاکنون برای یافتن بردار اولویت از آن استفاده شده است، ولی این روش هم مانند اکثر روش‌ها بدون ایراد نیست. ضعف و ایراد این روش این است که اولاً در این روش از قیود جمعی استفاده می‌شود( یکی از قیدها در مسئله‌ی بهینه‌سازی این است که باید مجموع وزن‌ها برابر یک شود). ثانیاً ایراد اصلی ای که به این روش گرفته می‌شود این است که اگر از درایه‌های پایین قطر اصلی در ماتریس مقایسه‌ای فازی استفاده کنیم به جوابی متفاوت با درایه‌های بالای قطر اصلی می‌رسیم درحالی‌که درایه‌های پایینی طبق خاصیت ماتریس مقایسه‌ای، عکس درایه‌های بالایی هستند و نباید ما را به دو جواب متفاوت برساند.
در این بخش ما به یکی از آخرین روش‌هایی که برای حل مسائل تصمیم‌گیری ارائه شده است، اشاره می‌کنیم. در این روش از برنامه‌ریزی لگاریتمی فازی دو مرحله‌ای استفاده می‌شود و برای اینکه جواب درایه‌های بالایی و پایینی یکی شود ، از قیود ضربی به جای قیود جمعی کمک می‌گیریم. این روش به وسیله‌ی رونگ یو و شینگ۹۳ در سال ۲۰۱۳ ارائه شده است.
رویکرد دومرحله‌ای یک رویکرد فازی در تصمیم‌گیری با چند تابع هدف است که به دست آمدن جواب‌های متعادل و غیر مغلوب را تضمین می‌کند.(لی۹۴ ۱۹۹۳)
این بار بردار وزن‌ها را به صورت v= (v_1 , v_2 , …, v_n )^T نشان می‌دهیم. خاصیت ضرب را به صورت زیر نشان می‌دهیم.
۱۱)
?_(i=1)^n?v_i =1 و ?_(i=1)^n??v_i=0?
حال با فرض بردار وزنی ای که در بالا اشاره شد می‌توان رابطه‌ی l_ij (?)? ? v_i/v_j ? ? u_ij (?) را که در FPP استفاده شد، در هر برش ? به رابطه‌ی زیر تبدیل کرد. (با گرفتن لگاریتم از نامساوی)
۱۲)
البته به خاطر خواص برش ? روابط زیر نیز برقرارند.
۱۳)
۱۴)
برای تبدیل کردن روابط بالا به حالت خطی، ?_i=ln??(v_i)? را تعریف می‌کنیم. باید توجه کرد که ?_۱=۰ و تمام وزن‌های نهایی به دست آمده را می‌توان طوری نرمال کرد که مجموع همه یک شود.
حال نامساوی فازی که در بالا به عنوان قید نشان داده شد را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد.
۱۵)
در ادامه ما از درایه‌های بالای قطر اصلی استفاده می‌کنیم. لی در مقاله‌ی خود نشان می‌دهد که اگر از درایه‌های پایین هم استفاده شود جواب یکسانی به دست خواهد آمد.
فرض کنید که ما s ماتریس مقایسه‌ای در AHP یا ANP داریم. برای اینکه به طور همزمان بردار اولویت تمام این ماتریس‌ها را به دست بیاوریم لازم است که s تابع هدف را بیشینه کرد.
این بیشینه سازی را در معادله‌ی زیر می‌توان به طور همزمان انجام داد. باید توجه کرد که در رابطه‌ی زیر ?_pi ها نامحدود هستند و ?_p درجه‌ی رضایت ماتریس p ام را نشان می‌دهند. d_pk پارامتر خطای k امین قید در ماتریس p ام است.
۱۶)
از اینجا به بعد می‌توان با استفاده از رویکرد دو مرحله‌ای، مسئله‌ی بالا را به یک مسئله‌ی تک هدفی تبدیل کرد. تابع عضویت هر کدام از هدف‌ها به صورت زیر تعریف می‌شود.
۱۷)
که در رابطه‌ی بالا مقدار ایدئال و آنتی ایدئال برای هدف p ام به ترتیب ۱ و صفر خواهند بود.
۳-۵-۱ مسئله مرحله اول:
۱۸)
۳-۵-۲ مسئله مرحله دوم:
۱۹)
در نهایت با توجه به ?_pi^*=ln?(v_pi^* ) می‌توان از رابطه‌ی زیر بردار w (بردار اولویت) را یافت.
۲۰)
۳-۶ فرایند تحلیل شبکه‌ای۹۵
فرایند تحلیل شبکه‌ای که از این به بعد به صورت ANP نشان می‌دهیم برای تکمیل کاستی‌های روش AHP توسط ساتی ارائه شد. در روش AHP لازم بود که معیارها از یکدیگر مستقل باشند. برای اینکه تحلیل مسئله به شرایط واقعی نزدیک تر شود، ساتی ANP را برای استفاده در شرایطی که معیارها مستقل نباشند (الزامی نباشد) ارائه کرد. بدون هیچ توضیح اضافه به سراغ جزئیات این روش می‌رویم.
اولین مرحله در ANP این است که معیار را در کل سیستم مقایسه کنیم تا به وسیله‌ی آن بتوانیم سوپر ماتریس۹۶ را تشکیل